日有所思，夜有所梦。每天都在做数学，梦中就出现了数学问题。从中学题目到部分大学在研究生才学习的李群和李代数，有这么几道有意思的题，姑且记来。
撰文｜咸道
《红楼梦》中有一个故事：香菱学作诗，用了很多苦功也没能作好，却在梦中作出一首好诗。当然这有点“怪力乱神”的味道。据说著名的小提琴曲《魔鬼的颤音》也是在梦中作出的。那么在现实中这样的事真的能发生吗？我所关心的是：在梦中能做数学吗？
也许某些天才可以，而吾等凡夫俗子是不行的。在我的梦中，场景变化很快，而且是跳跃式的，每个场景持续的时间很短，更谈不上逻辑性。而要证明一个定理，需要多步推理且还要反复检验，在梦中当然不可能做到。
但是，在梦中出现一个好的 idea 倒并非不可能。如作诗梦见一个妙词或妙句，我还是相信的。但另一个问题是，绝大多数梦境在醒来时都忘了，只有在梦见妙句时突然醒来，才有可能记下并传之于世。
对于数学，这样的好事最近我遇到多次，写出来与大家分享，就是数学的“痴人说梦”了。
一 日 有 所 思先得说明一下“日有所思”，才好解释什么是“夜有所梦”。
由于新冠肺炎流行，我和大家一样宅在家里。首先要做的是修订《李群与李代数基础》一书。这是2015年出版社就约稿的，去年8月我计划再讲一次定稿。尔后顺利讲完，但整理书稿的工作量仍很大。幸乎不幸乎，新冠肺炎让我有了时间，而且学校延期开学，开学后又是网上授课，这样我有了近两个月的连续工作时间，终于在上周完成了修订工作，向出版社交稿了。所以现在有时间聊些轻松愉快的话题。
开学后的教学工作，当然也是与数学有关的。一方面是研究生课程《交换代数与同调代数》，我觉得上网课肯定是不行的，遂采用了“网上讨论班”的授课方式。实行以来相当有效，因为同学们提出的问题往往是同学们先回答，而且到处查阅资料。大家在微信群中上传的文件也很多，有些贪婪的同学把整本的厚书上传，如EGA（格罗滕迪克的著作 Eléments de Géométrie Algébrique 的简写，即《代数几何原本》）和布尔巴基学派的书。除了研究生课程，我还有对本科生甚至中学生的教学任务，这些目前还没有值得一提的进展，但仍在努力。
应该说这些工作的难度都不大，否则我晚上只会做噩梦。但毕竟每天都在玩数学，梦中就会常出现数学问题，有几个醒来时还没忘，而且觉得有点意思，下面就一个个写出来。不是按照做梦的时间顺序，而是按照难度从低到高排列的。
二 夜 之 所 梦01 梦到数学题
02 梦到本科题
03 梦到李群与李代数问题之一
04 梦到李群与李代数问题之二
下面说的这个梦，尽管是转瞬即逝，要听痴人说梦却有点辛苦，需要跟着做好几个习题才行。
在梦中也是苦苦挣扎，这次是努力用直线的无穷小运动计算李代数。如我在前文所说，吾等凡夫俗子肯定是算不出的。挣扎着就醒了。
醒来后想想，在梦中算的是什么李群的李代数呢？一般的线性群的李代数在教科书中不是都有计算吗？
无穷小运动！明白了，在梦中算的是运动群。
这还真是个问题，一般的教科书中没有。为了详细解释，我把需要做的习题逐个列出，不想做的就别往下看了。
由于ΓO(V,<,>)不是GL(V)的子群，关于线性群的李代数的结果不能直接套用。但可利用
的一个很好的线性表示来解决这个问题。
这样就在书中又增加了一道习题。
三 尾 声诸位在抗疫期间都好吗？问候大家了。
如果您成天看的都是疫情消息，这篇文章就算是给您打打岔了。
在这段时间能做几个好梦，也算是不幸之中的小幸了。
不知诸位是否也做过数学的好梦，若有请拿来分享。
谢谢大家。
那就像是“难产”，但不同的是，自己的脸上是波澜不惊，但是大脑在歇斯底里；更不同的是，“难产”起码肚子还有“货”，但是自己连“货”都没有啊！
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一、一个总是做不出来数学题的学渣是怎么上考场的：首先，拿到试卷和草稿纸，眼睛一瞄，这道题看起来考察立体几何，心想：“糟糕，这类题会的不对啊。”“莫慌！先把公式写在草稿纸上，对着挑肯定能挑到合适的公式的！”于是乎，开始奋笔疾书，就像这样：
一通操作猛如虎，一看公式……
还是没有思路啊！密密麻麻的公式似乎在扰乱我的思路。这是突然想起老师说应该这类题应该连辅助线。对呀！让我开始连辅助线！
Two thousand later……
还是没有找到辅助线，于是开始把能连上的两个点都连一遍……
反反复复，反反复复，铃铃铃，考试时间终于到了，交卷！放学回家。
二、不仅上考场的时候难受，就连做不出题的后遗症也会十分明显。且不提拿着卷子，看着红色的勾勾叉叉，还要拿着卷子看，信誓旦旦地保证自己下次一定会做得更好。心里想，谁能够确保明天发生的事情呢？
就说每年高考时都会做噩梦！每天的6月初都会梦见数学题做不出来，老师追着我，我在前面跑，好像欠了被人500万一样。醒来喘着粗气才发现是虚惊一场，呼吸急促的同时才慢慢反应出来，原来自己已经毕业很久了，数学好像跟自己没有什么必然联系很久了。
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所以，什么原因导致数学题死活做不出来呢？
1、基础题目没思路——基础知识点没吃透
你可能只是知道定理讲了什么内容，但是却不知道定理应该在什么时候应用，怎么使用。
2、中难度题不会做：知识点之间联系没有搞懂。
有些同学选择题做得比较好，到大题就开始头疼了，绞尽脑汁也找不到解题思路。这是因为很多时候选择题之针对一个知识点进行考察，大题一般会综合3-4个知识点进行考察，一旦题目之间连接的知识点出现断层，就不知道怎么解题了。
大范围的知识点要组建成网络，完全掌握要花一定时间，是要下大功夫的。
解决方法：
1、学会看解析。
有些学生拿到题目解析，看完以后恍然大悟，原来这么简单！再遇到类似的题目发现自己还是完全不会。解析一是要看见解题思路，二是要看切入点。
2、学会双向推导。
双向推导即正向推导和逆向推导思维双管齐下。数学习题有题干和问题两个部分组成，将题干和已知的数学结论连接起来，就能形成完整的逻辑链条。就像你走在迷宫中，只要找到了迷宫的入口，走出去只是时间问题。在做题时，从做题的过程和问题中双向入手，也许你会发现解题更简单了。
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虽然，数学虐我千百遍，但我待其如初恋……
日有所思，夜有所梦。每天都在做数学，梦中就出现了数学问题。从中学题目到部分大学在研究生才学习的李群和李代数，有这么几道有意思的题，姑且记来。
撰文｜咸道
《红楼梦》中有一个故事：香菱学作诗，用了很多苦功也没能作好，却在梦中作出一首好诗。当然这有点“怪力乱神”的味道。据说著名的小提琴曲《魔鬼的颤音》也是在梦中作出的。那么在现实中这样的事真的能发生吗？我所关心的是：在梦中能做数学吗？
也许某些天才可以，而吾等凡夫俗子是不行的。在我的梦中，场景变化很快，而且是跳跃式的，每个场景持续的时间很短，更谈不上逻辑性。而要证明一个定理，需要多步推理且还要反复检验，在梦中当然不可能做到。
但是，在梦中出现一个好的 idea 倒并非不可能。如作诗梦见一个妙词或妙句，我还是相信的。但另一个问题是，绝大多数梦境在醒来时都忘了，只有在梦见妙句时突然醒来，才有可能记下并传之于世。
对于数学，这样的好事最近我遇到多次，写出来与大家分享，就是数学的“痴人说梦”了。
一 日 有 所 思先得说明一下“日有所思”，才好解释什么是“夜有所梦”。
由于新冠肺炎流行，我和大家一样宅在家里。首先要做的是修订《李群与李代数基础》一书。这是2015年出版社就约稿的，去年8月我计划再讲一次定稿。尔后顺利讲完，但整理书稿的工作量仍很大。幸乎不幸乎，新冠肺炎让我有了时间，而且学校延期开学，开学后又是网上授课，这样我有了近两个月的连续工作时间，终于在上周完成了修订工作，向出版社交稿了。所以现在有时间聊些轻松愉快的话题。
开学后的教学工作，当然也是与数学有关的。一方面是研究生课程《交换代数与同调代数》，我觉得上网课肯定是不行的，遂采用了“网上讨论班”的授课方式。实行以来相当有效，因为同学们提出的问题往往是同学们先回答，而且到处查阅资料。大家在微信群中上传的文件也很多，有些贪婪的同学把整本的厚书上传，如EGA（格罗滕迪克的著作 Eléments de Géométrie Algébrique 的简写，即《代数几何原本》）和布尔巴基学派的书。除了研究生课程，我还有对本科生甚至中学生的教学任务，这些目前还没有值得一提的进展，但仍在努力。
应该说这些工作的难度都不大，否则我晚上只会做噩梦。但毕竟每天都在玩数学，梦中就会常出现数学问题，有几个醒来时还没忘，而且觉得有点意思，下面就一个个写出来。不是按照做梦的时间顺序，而是按照难度从低到高排列的。
二 夜 之 所 梦01 梦到数学题
02 梦到本科题
03 梦到李群与李代数问题之一
04 梦到李群与李代数问题之二
下面说的这个梦，尽管是转瞬即逝，要听痴人说梦却有点辛苦，需要跟着做好几个习题才行。
在梦中也是苦苦挣扎，这次是努力用直线的无穷小运动计算李代数。如我在前文所说，吾等凡夫俗子肯定是算不出的。挣扎着就醒了。
醒来后想想，在梦中算的是什么李群的李代数呢？一般的线性群的李代数在教科书中不是都有计算吗？
无穷小运动！明白了，在梦中算的是运动群。
这还真是个问题，一般的教科书中没有。为了详细解释，我把需要做的习题逐个列出，不想做的就别往下看了。
由于ΓO(V,<,>)不是GL(V)的子群，关于线性群的李代数的结果不能直接套用。但可利用
的一个很好的线性表示来解决这个问题。
这样就在书中又增加了一道习题。
三 尾 声诸位在抗疫期间都好吗？问候大家了。
如果您成天看的都是疫情消息，这篇文章就算是给您打打岔了。
在这段时间能做几个好梦，也算是不幸之中的小幸了。
不知诸位是否也做过数学的好梦，若有请拿来分享。
谢谢大家。
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