一、算理的含义
何为算理？顾名思义，算理就是计算过程中的道理，是指计算过程中思维方式，是解决为什么这样算的问题。如计算214＋35时，就是根据数的组成进行演算的：214是由2个百、1个十和4个一组成的，35是由3个十和5个一组成的，所以先把4个一与5个一相加9个一，再把1个十与3个十相加得4个十，最后把2个百、4个十和9个一合并得249，这就是算理。
二、算理与算法的关系
当学生进行了一定量的练习以后，发现了计算的规律：个位数只能与个位数直接相加、十位数只能与十位数直接相加、百位数只能与百位数直接相加，也就是相同数位上的数才能直接相加，最后再把几个得数合并，这是学生感悟算理的过程；最后进行优化计算过程，为了便于计算一般写成竖式形式，在此基础上引导学生抽象概括出普遍适用的计算法则：把相同数位对齐列出竖式，再从个位加起，满十向前一位进一，这就是算法。
从上面的分析可以看出算理与算法有这些关系：算理是客观存在的规律，算法却是人为规定的操作方法；算理为计算提供了正确的思维方式，保证了计算的合理性和正确性，算法为计算提供了快捷的操作方法，提高了计算的速度；算理是算法的理论依据，算法是算理的提炼和概括，算法必须以算理为前提，算理必须经过算法实现优化，它们是相辅相成的。
三、如何处理算理和算法的关系
怎样处理好算理与算法教学统一，使学生既理解算理，又能牢固掌握算法、提高计算的速度和正确率呢？下面就以二年级数学《两位数乘一位数》为例，说说如实现理算理与算法的的教学统一。
1．引导研究，理解算理
学生只有理解了计算的道理，才能“创造”出计算的方法，才能理解和掌握计算方法，才能正确迅速地计算，所以计算教学必须从算理开始。教学中要引导学生对计算的道理进行深入的研究，帮助学生应用已有的知识领悟计算的道理。首先引导学生思考：为什么可以用14×2计算？使学生明白14×2表示求2个14是多少；其次，让学生思考：你打算怎么计算14×2？使学生明白14是由1个十和4个一组成的，可以把14×2转化成已经学过的乘法计算：先算2个10是多少，再算2个4是多少，最后把两次算的得数合并，计算的过程有三个算式：4×2＝8，10×2＝20，20＋8＝28。通过这样的研究，学生就理解两位数乘一位数计算的道理，学生就能应用这样的道理解决其他两位数乘一位数的计算问题。
2．及时练习，巩固内化
通过上面的计算研究，学生虽然理解了两位数乘一位数的道理，但是此时学生对算理的理解还处于似懂非懂的状态，学生是否真正掌握了算理还要经过实际计算才能得到检验和巩固，此时及时组织学生进行相应的练习是很有必要的，只有在练习中才能把算理内化为自己的理解，才能使学生理解和掌握算理。所以在学生初步理解了算理后，应当及时组织学生用三个算式进行两位数乘一位数的练习，使学生在练习中加深对算理的理解，在练习中牢固掌握算理，为后面的抽象、概括计算方法奠定坚实的基础。
3．应用算理，进行创造
算理是计算的思维本质，如果都这样思考着算理进行计算，不但思维强度太大，而且计算的速度很慢。为了提高计算的速度，使计算更方便、快捷，就必须寻找到计算的普遍规律，抽象、概括出计算法则。计算法则是算理的外在表达形式，是避开了复杂思维过程的程式化的操作步骤，它使计算变得简便易行，它不但提高了计算的速度，还大大提高计算的正确率。所以当学生理解和掌握了算理之后，应引导学生对计算过程进行反思，启发学生再思考：计算14×2要写出三个算式，你的感觉怎样？可以简化一下吗？怎么简化？学生通过独立思考、同伴交流创造方便、快捷的计算方法：可以像计算加减法那样用竖式计算，根据算理：先算4×2＝8，在个位上写上8，再算10×2＝20，在十位上写2、个位上写0，最后再把8和20加起来等于28，得出算理竖式。接着再启发学生思考：还能再简化吗？通过师生共同研究，最终得出：加号可以省略，还可以把8个一与2个十直接合并，优化成简化竖式。
4．观察比较，归纳方法
当学生比较熟练地继续竖式计算后，再引导学生对竖式计算过程进行观察反思：这些乘法的竖式计算都是怎么算的？分几个步骤？从而归纳出两位数乘一位数的计算法则：先用一位乘数乘两位数的个位数，积的末尾写在个位上，再用一位乘数乘两位的十位数，积的末尾写在十位上。这时的计算就不再思考每一步的计算道理，只要按照这样的操作步骤进行演算就能得到计算的结果，由于避开了复杂的思维过程，缩短计算的思维路径，把计算演变成一种机械的、程式化的操作方法，所以计算的速度大大加快，计算的效率大大提高。
这样的教学模式是以思维为主线、以算理为先导、以创造为契机，学生不但理解了算理，而且创造出了简便的计算方法，并发现计算的规律，归纳出计算的法则，实现了算理与算法的统一。
（此处已添加圈子卡片，请到今日头条客户端查看）除法竖式谜。
来看一下这道题，观察一下这个算式当中哪一个地方是直接可以确定出来的。
·首先观察一下这个位置，十几减18有余数，这个地方只能填的是几？是不是19-18于一对吧？11减几等于5？11-6=5。
·先把下面这三个空填出来了，再看这个9是从哪个地方落下来的？从被除数的十位上落下来的。
·再观察这个地方，7减几等于1？7-6=1，这个6是从哪来的？一乘除数得来的，16得6，被除数的10位应该商的是3，因为368，这个位置填的是16得6。
数形结合是一种非常重要的数学思想，把数与形结合起来解决问题，可使复杂的问题变得更简单，使抽象的问题变得更直观。尤其在小学阶段，孩子们的思维抽象程度还不高，经常要借助直观模型来帮助理解。例如，利用长方形模型来教学分数乘法的算理，利用面积模型来解释乘法分配律等等。下面进行具体分析：
1、利用点子图来解释 “两位数乘两位数”的算理。
“两位数乘两位数”是人教版数学三年级下册第42页的学习内容。教材根据例1列出乘法算式14×12，并给出了两种解决问题的思路：（1）将12分成3个4，先算14×4=56，再算56×3=168，与之相对应的点子图呈现了3块，每块包含4行，每行有14个圆点。此方法是将“两位数乘两位数”转化成“两位数乘一位数”，培养学生将新知转化为旧知解决新问题的能力。
第（2）种思路是将12分成10和2，先算10个14是140，即14×10=140；再算2个14是28，即14×2=28；最后再将这两个积加起来，即140+28=168，也是将新知转化为旧知进行学习的。与之相对应的点子图分为两块，上面一块包含10行，每行14个圆点，下面一块包含两行，每行也是14个圆点。这种方法及点子图与竖式计算的算理相对应，为后面学生理解竖式计算的算理和算法作好铺垫。
2、利用长方形模型来理解“分数乘法”的算理。
“分数乘法”是人教版数学六年级上册第一单元的学习内容。教材第4页呈现了分数乘分数的例题“求1/2公顷的1/5是多少？”其中 1/2公顷，实际上就是1公顷的1/2， 1/2公顷的1/5，就是1公顷的1/10，即1/10公顷。与之相对应的3个长方形直观图很清晰地呈现了这个过程：先把长方形横着平均分成2份，其中的1份就是1/2公顷，然后再将长方形竖着平分为5份，其中的1份就是1/2公顷的1/5，又是1公顷的1/10，即1/10公顷。此题不仅渗透了数形结合的数学思想，还能培养学生的逻辑推理能力。
3、利用线段图来理解“分数除法”的算理。
“分数除法”是人教版数学六年级上册第三单元的学习内容。教材第30页例2研究一个数除以分数的计算，包括整数除以分数和分数除以分数两种情况，其中，理解2÷2/3是本例的重点，题目为“小明2/3小时走了2千米，平均每小时走几千米”。教材采用画线段图的直观方式呈现推算的思路：由于1小时里有3个1/3小时，而2/3小时走2千米，那么1/3小时就走了2千米的一半，即2×1/2=1千米，继而推出1小时走了3个1千米，也就是1×3=3千米，将两步合起来就是2÷2/3=2×1/2×3=3千米。
由于有了直观图的支持，降低了学生对2×1/2×3中每一部分含义的理解难度，顺利完成从“除以一个分数”到“乘上这个分数的倒数”的转化。
4、利用面积模型来解释“乘法分配律”。
“乘法分配律”是人教版数学四年级下册第三单元的学习内容，但用面积模型作直观解释的呈现却在五年级上册第57页的练习题里。此题的长方形由两个小长方形组成，小长方形的长分别为a和b，它们的宽都是c，要求这个长方形的面积有两种方法：（1）先分别算出两个小长方形的面积，再求两个面积的和，即ac＋bc；（2）先把两个小长方形的长加起来，算出组成的大长方形的长，再用“长×宽”算出面积，即a与b的和乘c。
由于这两种方法都是求这个大长方形的面积，所以它们之间是相等的关系，用等号把两个算式连接起来，其实就是用字母表示的乘法分配律：ac＋bc＝（a＋b）c。从中可以看出“用图形表示更形象，用符号表示更一般”。
5、利用面积模型来解释“完全平方公式”。
“完全平方公式”是人教版数学初中二年级上册第十四章的学习内容。教材第109页下面呈现了两个面积模型图，虽然两个面积图看上去一模一样，但左图只标注了大正方形所分成的小长方形和小正方形的长和宽，很明显此图是用来解释完全平方和公式的，即大正方形的面积（a＋b的和的平方）＝两个小长方形面积和＋两个小正方形面积和（a的平方＋2×ab＋b的平方）。
而右图给出的是大正方形的边长a，和小长方形的宽b，求的是其中一个小正方形的面积，很明显此图是用来解释完全平方差公式的，即小正方形的面积（a－b的差的平方）＝大正方形的面积－两个小长方形面积和＋边长为b的小正方形的面积（a的平方－2×ab＋b的平方）。
综上所述，利用图形来直观地解释一些比较抽象的数学原理与事实，是不是可以让人一目了然了呢。
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