这是一道非常经典的原调真题，难到了百分之九十五的同学，一起来看一下。
他说题刚告诉我们，如图在等腰直角三角形a、c、b当中，角a、c、b等于九十度，意思这个角等于九十度。然后a、b的长度是四，a、b的长度四，一为a、b的终点，一为a、b的终点，a、b等于四。是不是知道a、b的长度是二，e、b的长度是二，能理解吧？
他说现在以a、b做等边三角形a、d、一，等边三角形a、b、一，a、d的长度是不是也是二，也是二。d与点c分别是在a、b的一侧，一个在这边，一个在下面，一个在上面，连接c、d求三角形a、c、d的面积。
看一下，这是一个等腰直角三角形，说明这个角等于多少度？角b、角b是不是等于四十五度？因为a、c、b是一个等腰直角三角形，是不等于四十五度。同样的，这个角cab是不是也等于四十五度？
等腰直角三角形先不管，先求面积的时候要想到辅路线，因为a、c、b是一个等腰直角三角形，这个一又是终点，肯定是想到了等腰三角形三线合一，首先是不是要把e、c连接起来？因为等腰三角形又想到三线合一，又知道终点，就把c一连接起来。
c一连接起来c一等于多少？这是四十五度，连接起来肯定是垂直的，ab跟ce肯定是垂直的，就是ce垂直起来平分ab，这是四十五度，这是九十度，这个角是不是应该ace也是等于四十五度？能理解吧？因为a、e、c也是一个等腰直角三角形，等于四十五度。
这个疑点到b点为二，到a点为二，到d点为二，到c点也为，c点是不是应该也为二？因为a、c是一个等腰直角三角形，a1等二，e、c是不是也得二，一点到c点也为二，说明a、c、b、d是不是四点共圆？能理解吧？就是相当于以一为中心，也与为圆心，二为半径的圆，到a、c、b、d的长度都是二，是不是相当于四笔共圆？
把圆大概画一下，大概是这样子，大概画个草图。相当于四点共圆，a、c、b、d到这是个圆，这相当圆心，圆心到四点的都是为二。
这里的时候四点共圆了以后发现adc的角度为多少度？想要的，这个是四十五度，对应的弧是不是ac弧？这个角b对应的弧是ac弧，adc是不是也对应ac弧？根据同弧所对的云轴角相等，所以adc是不是等于四十五度？能理解吧？
现在要求的是acd的面积，acd的面积怎么求？三角形的面积是底乘高除以二，现在的时候图形当中的时候也没有高，先可以做个高，过点地做dc的高，假如做dc的高就是a，比如af垂直于dc，是高，等于四十五度，垂直的，想一下角度是不等于四十五度，能跟上吧？
这四十五度说明了df是不是一个等腰直角三角形？斜边ad等于二，是不是就可以求出af和df的长度？根据等一下三行，也可以用勾股定理，通过是s平方加s平方等于二的平方，然后把s求出来，也可以通过三角函数四十五度，四十五度九十度，根据三角函数的关系求出af和df的长度。
根据这里的时候等腰三角形的时候，等腰只要三角形一比一比根号二，是不是可以求出df是不等于af是不等于根号二？能理解吧？这个长度等于根号，这个长度df也等于根号。
现在在acd当中的时候知道高是根号二，知道df是根号二，要想求面积的时候是不是要求出底底？只要求出af这段就可以了，这个是垂直的。
再怎么思考一下子？知道adc是否等边三角形？说明了d、a是等于六十度，这个角的四十五度，求这个角是等于六十度减四十五度，是不是等于十五度？十五度，能理解吧？它等于十五度，十五度，c、a、b等于四十五度，这个角f、a、b等于十五度，所以大角等于六十度，有六十度的角，这就好做了。
这是九十度，这个角等于三十度，根据三十度在直角三角形当中，三十度角对的边等于斜边的一半，这根号是不二倍根号二，ac是不二倍根号。求cf可以根据勾股定理求cf，是不是把cf可以求出来？cf是不等于斜边二倍根号二的平方减去af。这样子是不是等于8减去2等于根号6，把这个CF求出来等于根号6，是不是就可以知道底边是多少了？底边这个DC的长度是不等于根号DF长度根号2加上这个FC根号6，那么高是根号2，是不是就很轻松的求出这个三角形ACD的面积？
而是三角形ACD的面积是不是等于底乘以高，底是根号2加上根号6乘以高，高是A L的长度，A L的长度是根号2乘以根号2，再除以2求输入面积，这个等于多少？算一下子，这根号乘根号是得2加上根号乘高68位根号3，再除以2就等于这里1加上根号3。
这道题的时候关键点的时候要找出这个ADBC四点共圆，所以这里最终的答案是1加上高二。你学会了吗？
1、已知：如图，I、O为锐角△ABC内心、外心，且∠BIO=30° ,求∠BAC
思路分析：
不难猜出∠BAC=60° ,而且由第二篇知当∠BAC=60°时∠BIO=30°成立。下面关键是如何证明唯一性，基本思路是同一法。考虑到I、O为内外心，联想到鸡爪定理，延长CI交外接圆于E，则EB=EI，下面关键在于∠BIO=30°如何利用，需要说明∠BEI=60°,但是无法直接说明。经过尝试发现设B关于IO对称点为B’，则△B'BI为正三角形，B’B=B’I,从而B’与E重合，利用同一法，结论得证。
证明：如上图，做出外接圆O，延长CI交圆O于E，
由鸡爪定理得EB=EI。
设B关于IO对称点为B',
则由OB=OB’知B’在圆O上
且∠B'IO=∠BIO=30°，
故△B'BI为正三角形，故B'B=B'I,
又B'、E都在弧BAC上，且都在BI中垂线上，故B'、E重合,
则∠BAC=∠BEC=60°。
注：1）本题结论很容易猜出来，因为条件∠BIO=30°比较刁钻，很难利用，只能分别利用对称得到等边三角形，结合鸡爪定理说明B'、E重合才能最终得证。不过要彻底说清楚还是有点麻烦，需要作出外接圆综合鸡爪定理利用同一法才行。需要强调的是，用同一法容易出现“伪证”，我也是尝试了好几次都是伪证，经过认真修改才得到最终的正确结果。
2）本题采用暴力计算，采用正余弦定理或者心距公式也是可行的。
3）本题同一法还是比较有启发性的，不难想象，几乎所有的含有60°的三角形的判定都可以尝试利用类似思路解决。
2、如图，在△ABC中，AP平分∠BAC且交BC于P，BQ平分∠ABC且交CA于Q．已知∠BAC=60°，且AB+BP=AQ+QB．问△ABC的各角的度数的可能值是多少？
思路分析：
最直接了当的思路是三角计算，应该不会太难。
如果希望用纯几何方法，
利用条件等式的自然思路是
在AB、AC延长线上截BF=BP,QB=QG。
则AF=FG=GA且FP//BQ。
若G、C重合，则BQ=QC,
故∠ABC=80°=2∠ACB,显然满足条件。
所以可以先猜出答案，
估计只有这一种情况满足。
以下就是在G、C不重合的情况下，
则如何推出矛盾呢？
不难发现此时条件很难用。
经过长时间的尝试和探索，继续尝试消点。
题目转化为正三角形AFG中，P在A的角平分线上，
B在AF上且BP=BF，
Q在AG上QB=QG，且BQ//FP,
这样就能消去C点，得到下图
不难发现P确定后BQ随着确定，而若再有BQ//FP,
则P应该是确定的。
但未必是唯一的，而且应该也不是唯一的。
所以最好不用同一法，继续挖掘图形性质消点。
设FP交BG于L，则
∠BLF=∠QBG=∠AGB,
这样就能消去Q，得到下图，
∴∠BLF =∠AGB=∠AFK,
∠BKF=∠BLF-∠LFK=∠BFK-∠LFK =∠BFP=∠BPF,
则BFKP共圆，
故∠BFP=∠BKP>∠AGB=∠AFK>BFP
矛盾；
若L在FP延长线上，如下图
则依然如法炮制消去Q，有
∠BLF=∠QBG=∠AGB=∠AFK,
∴∠BKF=∠BFP=∠BPF,
则BFPK共圆，
则∠FBP=∠FKP=∠GKP=∠BFP=∠BPF,
故∠FBP=60°=∠BAC,
BC//AC,
矛盾。
综上，必有G、C重合，即∠ABC=80°。
注：1）本题初看似乎不难，但是要找到纯几何证明还是比较困难的，
这是当年IMO备选题几何中的最难的题目，参考答案的方法与上述
方法类似。国内林常教授也得到了一种纯几何证法。
此题难在如何充分利用条件得到共圆，
分类讨论要比较仔细。
2）上述本题的解题技巧还是很有启发性的，其实其推理过程和∠BAC=60°关系不大，即对一般的三角形也会有类似的结论。
3）当然本题用三角法应该是可以解决的，不过也需要一番三角计算。
肚腩并非一直"长"在身上！坚持3个方法瘦出好身材！现如今人们对于身材的审美是很苛刻的，不允许身上有一丝赘肉出现。而肚子是容易产生赘肉的一个部位，因此也是很多人烦恼的地方。肚腩减肥其实是有章可循的，但是也需要个人不懈的坚持和极端的自控能力。接下来就让我们一起来了解一下摆脱大肚腩应该如何做。
仰卧起坐是减肚腩最简单有效的方式没有之一，但是想要达到效果是需要坚持。虽然仰卧起坐可以很好的帮助大家减掉肚腩，但一定要每天都坚持不要三天打鱼两天晒网，不然是没有效果的。
动作一定要在上身挺起的时候注意不要完全的挺到底，保证上身和地面成六十度角就可以了，然后再躺下如此循环，重复30-50次左右是较为合理的次数。但是大家可以根据自己的身体状况来设定有效的次数，可以选择在饭后1小时或睡前1小时，这种时间段无疑是做仰卧起坐。
有肚腩的人士可以在每天洗澡的时候或者洗澡之后对自己的腹部进行正确合理的按摩。
·可以在腹部绕着肚脐的地方顺时针或逆时针的按揉腹部30-50圈左右。但是一定要注意力度要适中，按到腹部产生热感时代表已经有了效果，这样可以很好的促进肚子上脂肪层的新陈代谢，同时也可以更好的帮助腹部的皮肤变的更为紧致，看起来更加的平坦光滑。
所以建议一定要定期的给自己按摩，但是要注意一定要采取正确的手法和适中的力度。减肚腩最好的方法其实就是健康且良好的生活习惯了，主要是肚腩难减却好预防！
在平时日常生活中只要养成一种良好的坐姿习惯，坐下的时候腰背挺直站立的时候抬头挺胸。
·饭后吃饱的时候不能马上就躺下或坐下，一定要站起来活动活动消化食物或是在饭后出门散散步也是可以的，这样可以帮助消化。切忌晚上不要熬夜。
·睡前不要吃饭本身晚上在人体休息之后，很多器官也会自我休息养护，一旦熬夜就会导致器官在无休止的运作体内新陈代谢和内分泌失调。而一旦这些方面出现问题，再加上晚上睡前吃饭躺下更是会导致脂肪的迅速生长，尤其是肚子方面更是容易形成肚腩。
想要减掉大肚腩可以采用以上这几个方法。不过万事归根结底都是靠一个坚持，自律才能享受自由的人生。
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